ご相談ありがとうございます。
膨らんだリチウムイオン電池の処分についてですが、通常の回収ルート（家電量販店・JBRC等）では受け付けられない場合があり、その場合は自治体の個別対応を求めるのが現実的かつ安全な方法です。

リチウムイオン電池のリサイクルでは、小型充電式電池リサイクル協会（JBRC）の回収スキームが広く利用されていますが、公式には「破損、水濡れ、膨張などの異常がある電池は対象外」と明記されています。したがって、家電量販店が「膨らんでいると無理」と案内するのは、店側の勝手な判断ではなく、制度上の条件に沿った対応である場合が多いということです。
https://www.jbrc.com/general/recycle_flow/

そして最も重要な点ですが、
「JBRCの回収対象外だった」場合は、自治体が一般廃棄物として個別に適正処理ルートへ乗せる必要がある、という扱いになります。この点について、環境省は市町村向けの適正処理に関する資料を公開しています。
▶ 市区町村におけるリチウム蓄電池等の適正処理に関する資料（環境省）
https://www.env.go.jp/content/000307251.pdf

処分の相談をする際は、自治体の窓口（多くの場合は「環境課」「清掃課」「廃棄物対策課」等）で、次のポイントを順番に伝えるとスムーズです。
・膨張しているリチウムイオン電池であること（例：古いゲーム機のバッテリー）
・JBRC回収条件により対象外と案内されたこと（「膨張のため回収不可」等）
・家庭内での保管が不安で、火災リスクがあるため早急に処分したいこと
・自治体としての持ち込み先（清掃施設等）や、委託先の処理ルートを教えてほしいこと

このように具体的な状況と希望を整理して伝えることで、自治体側も安全確保と適正処理の両方を満たすルートを提案しやすくなります。